Category Archives: Mechanik

Gekoppelte Oszillatoren

Hi Internet! ūüôā Ich habe in meiner digitalen Nostalgiekiste ein cooles Protokoll aus dem Jahr 2015 gefunden. Es handelt sich dabei um eine Studienarbeit aus dem Studienfach "Informatik 3". Meine damalige Aufgabe war es, ein physikalisches Ph√§nomen numerisch zu simulieren.

Das Phasenportrait (Geschwindigkeits-Ort-Diagramm) eines gekoppelten Oszillators

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Bestimmung der Erdbeschleunigung

Dies ist in der Regel ein Einf√ľhrungsversuch im physikalischen Grundlagenlabor. Ziel des Versuches ist es die √∂rtliche Erdbeschleunigung m√∂glichst genau mit Hilfe eines Fadenpendels/Reversionspendels zu bestimmen. Beim Fadenpendel erfolgt die Messung von indirekt √ľber die Messung der Zeit, also der Periodendauer , die ein Pendel beim Schwingen ben√∂tigt, sowie √ľber die Messung der Pendell√§nge .

Die Erdbeschleunigung auf der Oberfl√§che unseres Planeten ist nicht √ľberall gleich, d.h. sie ist vom Ort abh√§ngig. In unseren Breitengraden (z.B. in Friedberg, Hessen) ist sie laut eines Modells der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt mit angegeben. Zum Nordpol hin nimmt sie zu, zum √Ąquator hin ab (Ursache hierf√ľr ist die Zentrifugalbeschleunigung aufgrund der Erdrotation, die der Gravitationsbeschleunigung). Ausserdem ist stark von der Massenverteilung im Erdinneren abh√§ngig.

F√ľr ein mathematisches Pendel der L√§nge und der gemessenen Periodendauer erh√§lt man beispielsweise

Die Messunsicherheit kann einfach nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet werden, indem man die obige Gleichung zunächst nach der Länge partiell ableitet, danach nach der Zeit . Die partiellen Ableitungen sind also


und die Gesamtunsicherheit (bzw. der Maximalfehler) ist

Dies f√ľhrt zum Ergebnis , was mit der Normalerdbeschleunigung im Rahmen der Fehlergrenzen (mit einer statistischen Sicherheit von etwa 68%) gut √ľbereinstimmt.

Beim Reversionspendel ist die Sache etwas komplizierter. Die Theorie habe ich versucht einigerma√üen verst√§ndlich aufzuarbeiten, also bitte nicht bei dem Teil mit Differentialgleichungen verzweifeln! Nicht alles was da drin steht, wird bei einer Wissensabfrage (Fachgespr√§ch) ben√∂tigt, dennoch sollte man unbedingt wissen was ein Tr√§gheitsmoment ist und welche Bedeutung der Satz von Steiner hat. ūüėÄ

Versuchsanleitung zum Versuch Reversionspendel
Versuchsauswertung Reversionspendel/Fadenpendel

Edit am 24.05.13 (Artikel etwas √ľberarbeitet)

Fahrstuhl (Update 2013-05-15)

In diesem Versuch geht es um die Anwendung der Newtonschen Gesetze.

Jeder kennt das Gef√ľhl, dass man schwerer wird, wenn der Fahrstuhl losf√§hrt, bzw. man wird scheinbar um einige Kilos leichter beim Abbremsen, wenn man mit dem Fahrstuhl aufw√§rts fahren will. Durch die Anwendung der Newtonschen Gesetze

und

kann man mit einer Waage und einer Stoppuhr die Beschleunigung und die Zeit messen und daraus dann die zur√ľckgelegte Strecke berechnen. Leider zeigt die Auswertung dieses Versuches, wie ungenau die Methode ist. Wenn man in einem Aufzug auf einer Personenwaage steht, dann zittert die Gewichtsanzeige. Viel schwieriger ist die Zeitmessung! Denn man muss die Fahrt in mehrere Intervalle unterteilen und aus den Dauern dieser Intervalle die Strecke berechnen. Man hat also eine komplizierte Formel f√ľr die Gesamtstrecke wie z.B.

Nix f√ľr schwache Nerven... So habe ich eine Strecke von ca. mit der obigen Messmethode durchfahren und das Ergebnis l√§sst sich sehen: , d.h. ein relativer Fehler von 100%! Die Ungenauigkeit der Zeitmessung macht sich extrem bemerkbar. Oder ich habe mich irgendwo verrechnet. Auf jeden Fall k√∂nnte ich den Versuch irgendwann wiederholen!

Aber es gibt ja Smartphones mit Beschleunigungssensoren - eventuell k√∂nnen sie den Tag retten? ūüėČ Ich werde den Versuch mit dem Smartphone in n√§chster Zeit auswerten und bin schonmal gespannt, ob sich eine h√∂here

Versuchsanleitung zum Versuch Fahrstuhl
Versuchsauswertung zum Versuch Fahrstuhl (ohne Smartphone)

Update am 15. Mai 2013: Erg√§nzungen, Fehler ausgemerzt und das Ergebnis der Smartphone-Messung hinzugef√ľgt. Viel Spa√ü damit!

Dichtebestimmung von Luft und Festkörpern

Bei diesem Versuch geht es um die Dichtebestimmung eines Gases (hier: Luft) nach dem idealen Gasgesetz

,

sowie um die Dichtebestimmung der Festkörper nach dem Archimedischen Prinzip (Stichwort: Auftrieb)

Dichtebestimmung von Luft und Festkörpern

Dichtebestimmung von Luft und Festkörpern

Bei der Dichtemessung der Luft hatte ich einen relativen Fehler von ca. 13% gegen√ľber der berechneten Dichte der trockenen Luft von 1.29 kg/m¬≥. Die Fehlerquellen k√∂nnen unterschiedlicher Natur sein, so kann es z.B. passieren, dass nach dem Wiegen des Gasbeh√§lters etwas Gas entweicht. Das ist nat√ľrlich fatal, wenn man mit einer Analysenwaage im Bereich von 100 mg wiegt...

Zusätzlich habe ich noch ein Rechenbeispiel zur Anwendung des gewichteten Mittelwerts mit reingenommen.

Bei der Dichtemessung von Festk√∂rpern habe ich Antimon und Zink untersucht. Die Ergebnisse stimmen gut mit den Literaturwerten √ľberein.

Versuchsanleitung zum Versuch Dichtebestimmung von Luft und Festkörpern
Versuchsauswertung zum Versuch Dichtebestimmung von Luft und Festkörpern

Trägheitsmoment eines Speichenrades

Will man das Trägheitsmoment eines Speichenrades berechnen, so kann man das Rad in mehrere Komponenten unterteilen: einen Hohlzylinder, mehrere Stäbe und einen Vollzylinder. Sobald die Abmessungen (Länge, Breite, Höhe, Durchmesser, ...) sowie die Massen bekannt sind, schnappt man sich eine Formelsammlung und berechnet die Trägheitsmomente. Ich konnte z.B. das Trägheitsmoment meines Speichenrades mit berechnen.

In diesem Versuch ging es darum, das Trägheitsmoment solch eines Speichenrades auf drei verschiedene Arten zu bestimmen: durch die Ab- und Auflaufmethode (1. Verfahren) und durch Messung der Schwingungsdauer des Rades um seine Drehachse (2. Verfahren) und um den Radkranz (3. Verfahren).

Dieser Versuch ist relativ einfach durchzuf√ľhren, die Auswertung hat mich schon ein paar Tage gekostet. ūüôĀ

Die Ergebnisse zu Verfahren 1, 2 und 3 sind

Nun m√ľsste man √ľberlegen, was die Ursache daf√ľr ist. An sich stimmen die Messergebnisse im Rahmen der Messunsicherheiten gut √ľberein. Andererseits ist das berechnete Tr√§gheitsmoment viel zu hoch. Aber da es sich um eine Absch√§tzung handelt, k√∂nnte ich das Modell etwas verfeinern - aber da steigt auch der Rechenaufwand... Eventuell wiederhole ich den Versuch irgendwann mal ...not ūüėČ

Versuchsanleitung Trägheitsmoment eines Speichenrades
Versuchsauswertung zum Versuch Trägheitsmoment eines Speichenrades

Elastische Konstanten

Verformt man einen Gegenstand (z.B. ein Lineal aus Plastik oder Metall), so geht er n√§herungsweise nach dem loslassen wieder in den urspr√ľnglichen Zustand zur√ľck. Man darf das nicht √ľbersprapazieren, sonst bricht das Lineal oder es verbiegt sich und bleibt krumm. Bei nicht zu hoher Belastung ist also die Kraft, die man zur Verformung ben√∂tigt, proportional zur Auslenkung. Dies wird durch das Hooke'sche Gesetz beschrieben. Analog gibt es einen Zusammenhang bei der Torsion (Verdrillung) eines Drahtes.

Im folgenden Versuch wurde die Federkonstante einer Feder bestimmt und der Schubmodul (richtig gelesen, "der Schubmodul") eines d√ľnnen Drahtes aus (Edel)Stahl.

Bei der Bestimmung des Schubmoduls treten einige experimentelle H√ľrden auf, die f√ľr unerfahrene Studis relativ gro√ü sein k√∂nnen. So muss man z.B. den Draht verdrillen und gleichzeitig zwei Gr√∂√üen indirekt bestimmen: die Kraft bzw. das Drehmoment mit dem Kraftmesser und den Winkel der Verdrillung √ľber Strecken (Stichwort: Trigonometrie). Hierzu habe ich meine Auswertung hochgeladen, ich hoffe dass es demjenigen, der den Versuch selbst durchf√ľhren musste, hilft! ūüėÄ

Den Schubmodul des Drahtes habe ich mit¬†G_stat = (62.8 ¬Ī 0.3) GPa (statische Methode) sowie G_dyn = (63.5 ¬Ī 0.5) GPa (dynamische Methode) bestimmt, leider deutlich unter dem Literaturwert von ~80 GPa f√ľr Stahl... Was da wohl schief gelaufen ist? ūüėČ

Versuchsanleitung Elastische Konstanten
Versuchsauswertung Elastische Konstanten

Bestimmung von Trägheitsmomenten mit dem Torsionspendel

Bei diesem Versuch wird das Tr√§gheitsmoment eines starren K√∂rpers, z.B. einer Kugel oder eines Zylinders, mit Hilfe eines Torsionspendels bestimmt. An sich ist der Versuch relativ einfach durchzuf√ľhren - man muss im Prinzip die Gegenst√§nde ausmessen (Geometrie, Gewicht) und die Schwingungsdauern mit einer Stoppuhr erfassen. Aus den Messungen der Periodendauern l√§sst sich das Tr√§gheitsmoment des vermessenen Gegenstandes ausrechnen.

Ein Torsionspendel

Ein Torsionspendel

Die Auswertung wurde in MATLAB geschrieben und enthält eine Fehlerrechnung (Ergebnisse wurden nicht gerundet).

F√ľr Hinweise auf Fehler bin ich sehr dankbar. Die PDF kann man mit dem folgenden Link herunterladen. Bitte beachten Sie eventuelle copyright-Hinweise auf der "√úber Mich"-Seite.

Versuchsanleitung Torsionspendel
Auswertung Torsionspendel